Pengertian Himpunan
Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. . Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter atau Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Anggota atau elemen adalah benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan.
Contoh:
Himpunan yang merupakan himpunan:
– Himpunan anak yang berusia 12 tahun
– Himpunan bilangan asli genap
– Himpunan pulau-pulau di Indonesia
Himpunan yang bukan merupakan himpunan:
– Himpunan anak-anak malas
– Himpunan wanita-wanita cantik
– Himpunan lukisan indah
Cara Penulisan Himpunan
Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan
1) dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang
tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda
koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.
Contoh: A = {a, i, u, e, o}
B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
2) menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.
Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5
A = bilangan asli kurang dari 5
3) Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat
umum (role) dari anggotanya.
Contoh:
Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan
sifat-sifatnya himpunan berikut ini :
A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Penyelesaian :
A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Dengan menulis tiap-tiap anggotanya
A = {2, 3, 4, 5}
Dengan menulis sifat-sifatnya
A = {x | 1 < x < Asli}Î6, x
4) Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn).
Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli
matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta
digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam
segiempat tersebut.
Keanggotaan Himpunan
Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk dalam himpunan H adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk ” sedangkan notasi untukÎmenyatakan anggota suatu himpunan adalah “ H, danÎ H, e ÎH, u Î H, iΔ. Dengan demikian aÏbukan anggota adalah “ H. Istilah anggota yang digunakanÏ H dan d Ï H, c Ï H sedangkan b Îo di atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.
Contoh :
A = {a, b, c} menyatakan bahwa himpunan A anggota-anggotanya adalah a, b, dan c.
Ditulis: a ÎA; b Î A; dan c Î A
Bukan keanggotaan suatu himpunan A.
Jika A = {a, b, c} maka d bukan anggota himpunan A.
Ditulis: d Ï A. Banyaknya anggota himpunan
1. Macam-Macam Himpunan
1) Himpunan Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B
A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka B ⊂ A
Sebab setiap elemen dalam B merupakan elemen dalam A, tetapi tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.
2) Himpunan Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang
sama sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong = A atau { }
Himpunan kosong adalah tunggal
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.
Sebab : { 0 } ≠ { }
Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).
3) Himpunan Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum)
yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata
lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.
4) Himpunan Sama (Equal)
Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula
sebaliknya.di notasikan dengan A=B
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :
A ={ c,d,e} B={ c,d,e } Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.
5) Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang
sama.
Contoh C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6} Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.
Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua
himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama
6) Himpunan Komplemen (Complement set)
Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan
komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U.
Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan
notasi pembentuk himpunan ditulis :
AC = {x│x Є U, x Є A}
7) Himpunan Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan
himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,
Contoh :
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = { r,s,t,u } →n (B) = 4
Maka n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.
1. Operasi pada Himpunan
a) Gabungan
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Dinotasikan A B
Notasi : A B = {x | x Є A atau x Є B}
b) Irisan
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.
Notasi : A B = {x | x Є A dan x Є B}
c) Komplemen
Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A. Dinotasikan Ac
Notasi : Ac = {x | x Є S dan x Є A} atau
d) Selisih
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A. Dinotasikan A-B
Notasi : A – B = {x | x Є A dan x Є B}
e) Hasil Kali Kartesius ( cartesion Product )
Hasil kali kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B
Secara matematis dituliskan :
A x B = {(a,b)| a Є A dan b Є B}
Contoh Penerapan Soal Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari
Berikut ini merupakan beberapa contoh kasus teori himpuanan dalam kehiupan sehari-hari.
Soal:
1. Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah raga dan 16 orang gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik saja dan yang gemar olahraga saja?
2. Dari survey 100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :
a) Orang yang gemar melukis dan menulis saja
b) Orang yang gemar membaca dan melukis saja
c) Orang yang gemar membaca saja
d) Orang yang gemar menulis saja
e) Orang yang gemar melukis saja
f) Orang yang tidak suka ketiganya
Penyelesaian:
1. Siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang. Dalam konsep himpunan, anggota yang gemar keduanya merupan anggota irisan sehingga dapat dicari siswa yang gemar musik saja dan siswa yang gemar olahraga saja.
Karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang sehingga siswa yang hanya gemar Musik dan olah raga saja yaitu :
Musik = 24 – 16
= 8
Olahraga = 30 – 16
= 14
Dengan demikian himpunan semestanya :
S = 8 + 14 +16 = 40 siswa.
2. Terdapat tiga himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca, menulis dan melukis. Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita cari irisan ketiganya. Sehingga dapat disimpulkan :
Misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis
a) Orang yang gemar melukis dan menulis saja: 40 – 30 = 10 orang
b) Orang yang gemar membaca dan menulis saja: 35 – 30 = 5 orang
c) Orang gemar membaca saja: 60 – 30 – 5 = 25 orang
d) Orang yang gemar menulis saja: 50 – 30 – 10 = 10 orang
e) Orang yang gemar melukis saja: 45 – 45 = 0, maka orang yang gemar
melukis saja merupakan himpunan kosong
f) Orang yang tidak suka ketiganya: 100 – 25 – 30 – 5 – 10 – 10 = 20 orang
DASAR-DASAR FUNGSI
1. Pengertian Fungsi
Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsidengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y = f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5) = 10.
2. Notasi
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.
3. Fungsi sebagai relasi
Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.
4. Domain dan Kodomain
Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain
Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil
Sifat-sifat fungsi, yaitu :
a. Fungsi injektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektifjika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
b. Fungsi surjektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektifjika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).
c. Fungsi bijektif
Fungsi f: A → B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu adalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota Ayang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.
DASAR-DASAR INDUKSI MATEMATIKA
1. Pengertian Induksi Matematika
Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements " n Î A S(n) dengan A Ì N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. S(n) adalah fungsi propositional.
2. Prinsip-prinsip Induksi Matematika
a. Prinsip Induksi Sederhana.
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulatpositif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuksemua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikanpernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
1. p(1) benar, dan
2. Jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar, untuk semuabilangan bulat positif n ³ 1,
- Langkah 1 dinamakan basis induksi,
- Langkah 2 dinamakan langkah induksi.
Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar.
Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.
Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benarmaka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semuabilangan bulat positif n.
Contoh 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah
bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Penyelesaian:
(i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah
12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
(ii) Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)
= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n +1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2
Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
b. Prinsip Induksi yang Dirampatkan
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dankita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semuabilangan bulat n ³ n0. Untuk membuktikan ini, kita hanyaperlu menunjukkan bahwa:
1. p(n0) benar, dan
2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar,
untuk semua bilangan bulat n ³ n0,
Contoh 2. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi
matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1
Penyelesaian:
(i) Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh:
20 = 20+1 – 1.
Ini jelas benar, sebab 20 = 1
= 20+1 – 1
= 21 – 1
= 2 – 1
= 1
(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu
20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1
adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 - 1
juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi)
= (2n+1 + 2n+1) – 1
= (2 . 2n+1) – 1
= 2n+2 - 1
= 2(n+1) + 1 – 1
Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1
c. Prinsip Induksi Kuat
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dankita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semuabilangan bulat n ³ n0. Untuk membuktikan ini, kita hanyaperlu menunjukkan bahwa:
1. p(n0) benar, dan
2. jika p(n0 ), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) jugabenar untuk semua
bilangan bulat n ³ n0,.
Contoh 4. Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat
tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin
membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n(n ³ 2) dapat
dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
Buktikan dengan prinsip induksi kuat.
Penyelesaian:
Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.
Langkah induksi. Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Ada dua kemungkinan nilai n + 1:
(a) Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian
satu atau lebih bilangan prima.
(b)Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang
membagi habis n + 1 tanpa sisa. Dengan kata lain, (n + 1)/ a = b atau (n + 1) = ab
yang dalam hal ini, 2 £ a £ b £ n. Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat
dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas
dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena n + 1 = ab.
Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ³ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
3. Pengertian Teori Binomial
Teori binomial merupakan perpangkatan dari jumlah atauselisih dua suku tanpa mengkalikan atau menjabarkannya ,yang memuat tepat dua suku yang dipisahkan oleh tanda“+” , atau tanda “-“ sebagai contoh x+y, 2x-5y.
4. DasarTeori Binomial
Untuk mengetahui binomial ada beberapa materi yang harus dikuasai terlebih
dahulu.Diantaranya :
Ø Notasi Faktorial
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n. Untuk setiapbilangan asli n, didefinisikan:
n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-2) x (n-1) x n lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2 n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 ×
n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-2) x (n-1) x n lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2 n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 ×
Contoh :
2! = 1∙2 = 2
3! = 1∙2∙3 = 6
n! = 1∙2∙3…n,
(r – 1) ! = 1∙2∙3…(r – 1)
Kombinasi
Susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatuhimpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.Kombinasi r elemendari n elemenditulis nKr
Segitiga Pascal
Membahas mengenai Teori Binomial tidak akanlepas dari segitiga pascal. Segitiga Pascal adalah suatuaturan geometri pada pekali binomial dalam sebuahsegitiga.Penemu segitiga pascal adalah seorang ahlimatematika yang bernama Blaise Pascal yang berasaldaridunia barat.Barisan segitiga Pascal secarakebiasaannya dihitung bermula dengan barisan kosong, adalah barisan genap.Pembinaan mudah pada segitigadilakukan dengan cara berikut. Di barisan sifar, hanyatuli snomor 1.Kemudian, untuk membina unsur-unsurbarisan berikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiridengan nomor secara terus di atas dan di kanan untukmencari nilai baru.Jikalau nomor di kanan atau kiri tidakwujud, gantikan suatu kosong padatempatnya.Contohnya, nomor pertama di barisan pertamaadalah 0 + 1 = 1, di mananomor 1 dan 3 barisan keempat.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Tidak ada komentar:
Posting Komentar