A. Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Ciri ciri Metode Gauss adalah
1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
2. Baris nol terletak paling bawah
3. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
4. Dibawah 1 utama harus nol
Contoh : carilah nilai x , y dan z dengan menggunakan caraEliminasi Gauss-Jordan
x + y + 2z = 2
x + y - 3z = 2
2x + y + 5z = 5
Kita akan ubah ke bentuk matrik , sehingga
1122 } R1
11-32 } R2
2155 } R3
Dan pengolahan ( R2 ← -R1 + R2 ) dan ( R3 ← ( -2R1 + R3 ) , sehingga menghasilkan
1122
00-50
0-111
Selanjutnya , pengalian baris ketiga dengan -1 , ( R3 ← -R3 ) dan dilanjutkan dengan penukaran baris kedua danketiga ( R2 ↔ R3 ) , dan menghasilkan
1122
01-1-1
00-50
Sehingga kita ubah dulu ke dalam bentuk persamaan
x + y + 2z = 2
y - z = -1
- 5z = 0
Maka cara selanjutnya yang kita gunakan untuk menemukannilai x , y dan z adalah subtitusi langkah mundur .
-5z = 0 y – z = -1x + y + 2z = 2
z = y – (0) = -1x + ( -1 ) + 2 ( 0 ) = 2
z = 0 y = -1x – 1 = 2
x = 3
maka dapat dihasilkan dengan cara eliminasi gauss bahwax = 3 , y = -1 dan z = 0
B. Eliminasi Gauss Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah
1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks
A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi
Contoh : carilah nilai x , y dan z dengan menggunakan caraEliminasi Gauss
x + 2y + 3z = 1
2x + 5y + 5z = -3
3x + 5y + 11z = 2
Penyelesaian :
x + 2y + 3z = 1
2x + 5y + 5z = -3
3x + 5y + 11z = 2
( kita ubah ke bentuk Matriks ) 1231
255-3
35112
Kita akan mengeliminasi atau menghapus x daripersamaan kedua dengan cara menggantikan persamaankedua dengan jumlah antara persamaan itu dengan (-2) kali persamaan pertama. Sehingga :
x + 2y + 3z = 11231
y - z = -5 dan01-1-5
3x + 5y + 11z = 235112
Lalu untuk menghapus x dari persamaan ketiga , kitaganti persamaan ketiga dengan di tambah (-3) kali persamaan pertama.
Sehingga :
x + 2y + 3z = 11231
y - z = -5dan01-1-5
-y + 2z = -10-12-1
Kemudian kita akan menghapus y dari persamaan ketigadan menggantikannya dengan jumlah persamaan itudengan persamaan kedua.
Sehingga :
x + 2y + 3z = 11231
y - z = -5dan01-1-5
z = -6001-6
ketika sudah sampah tahap ini kita akan memecahkansistem itu melalui teknik subtitusi langkah mundur , namun kita lanjutkan penyederhanaan ini denganmenambahkan persamaan ketiga ke persamaan keduadan kemudian menambahkan (-3) kali persamaan ketigake persamaan pertama.
Sehingga :
y = -11dan010-11
z = -6001-6
akhirnya kita tambahkan (-2) kali persamaan kedua kepersamaan pertama untuk memperoleh solusi bagi sistemsemula.
y = -11dan010-11
z = -6001-6
maka dapat dihasilkan dengan cara eliminasi gauss bahwax = 41 , y = -11 dan z = -6
Tidak ada komentar:
Posting Komentar